数值分析上机实验题目
一、线性方程组的数值解法
- Jacobi 迭代法
应用 Jacobi 迭代法求解如下方程组
{
4
𝑥
1 −
𝑥
2 +
𝑥
3
=
7
4
𝑥
1 − 8
𝑥
2
+ 𝑥
3
= −21
−
2
𝑥
1 +
𝑥
2
+
5𝑥
3
= 15
要求计算精度为10
−7 .
实验目的与要求：
（
1）对于给定的线性方程组，能判断是否适合使用 Jacobi 迭代.
（
2）能够构造出迭代公式.
（
3）能编程实现 Jacobi 迭代，并处理相关问题.
（
4）如果迭代不收敛，要求给出相关信息.
（
5）把迭代收敛情况用图像表示出来.
- Gauss-Seidel 迭代法
应用 Gauss-Seidel 迭代法求解如下方程组
{
4
𝑥
1 −
𝑥
2 +
𝑥
3
=
7
4
𝑥
1 − 8
𝑥
2
+ 𝑥
3
= −21
−
2
𝑥
1 +
𝑥
2
+
5𝑥
3
= 15
要求计算精度为10
−7 .
实验目的与要求：
（
1）对于给定的线性方程组，能判断是否适合使用 Gauss-Seidel 迭代.
（
2）能够构造出迭代公式.
（
3）能编程实现 Gauss-Seidel 迭代，并处理相关问题.
（
4）如果迭代不收敛，要求给出相关信息.
（
5）把迭代收敛情况用图像表示出来.
（
6）与 Jacobi 迭代法进行比较.
- 超松弛迭代法
应用超松弛迭代法求解如下方程组
{
5
𝑥
1
−
𝑥
2 −
𝑥
3
−
𝑥
4
=
−
4
−
𝑥
1
+
10
𝑥
2 −
𝑥
3
−
𝑥
4
=
12
−
𝑥
1
−
𝑥
2
+
5
𝑥
3
−
𝑥
4
=
8
−
𝑥
1
−
𝑥
2
−
𝑥
3
+
10
𝑥
4
=
34
要求计算精度为10
−7 .
实验目的与要求：
（
1）对于给定的线性方程组，能判断是否适合使用超松弛迭代.
（
2）能够构造出迭代公式.
（
3）能编程实现超松弛迭代方法，并处理相关线性方程组问题.
（
4）把结果用图像表示出来.4. Gauss 消去法
用 Gauss 消去法求解线性方程组
{
2
𝑥
1
+
2
𝑥
2
+
3
𝑥
3
=
3
4
𝑥
1
+
7
𝑥
2
+
7
𝑥
3
=
1
−
2
𝑥
1
+ 4
𝑥
2
+
5
𝑥
3
=
−
7
实验目的与要求：
（
1
）理解 Gauss 消去法的计算原理与步骤
.
（
2
）能够编程实现
Gauss 消去法.
- 列主元 Gauss 消去法
用列主元 Gauss 消去法求解线性方程组
[
0
2
0
1
2
2
3
2
4
6
−
3
1
0
−
6
1
−
5
] ∙ [
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
𝑥
4
] = [
0
−
2
−
7
6
]
实验目的与要求：
（
1
）理解列主元 Gauss
消去法的计算原理与步骤
.
（
2
）能够编程实现列主元
Gauss 消去法.
- 直接三角分解法
使用直接三角分解法求解线性方程组
{
5
.8
𝑥
1
−
𝑥
2
−
𝑥
3
+
4
.6
𝑥
4
=
21
.3
7
𝑥
1
−
8
𝑥
2 +
𝑥
3
−
30
.
3
𝑥
4
=
−
15
.7
9
.
5
𝑥
1
+
2
𝑥
2
+
5
𝑥
3
−
𝑥
4
=
16
.6
6
𝑥
1
−
𝑥
2
+
12
.9
𝑥
3
+
10
𝑥
4
=
7.
9
实验目的与要求：
（
1）理解直接三角分解法的基本思想与计算流程.
（
2）能利用直接三角分解法解线性方程组.
（
3）调用 Matlab 的系统函数进行 LU 分解.
（
4）自行编制出直接三角分解法的求解程序.
二、非线性方程求根
- 二分法
使用二分法求方程
𝑓(𝑥) =
(𝑥 −
1) 3 − 3𝑥 + 2 = 0
在区间[2,4]上的根，要求计算精度为
10
−5，并绘制函数图像，考察计算结果是否正确
.
实验目的与要求：
（
1）理解二分法的思想.
（
2）能够编程实现二分法，求解非线性方程.2. Newton 迭代法
使用 Newton 迭代法求方程 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 +
2𝑥 2 +
10𝑥 − 20 = 0
在区间[1,2]内的一个根，要求计算精度为
10
−5，并作出函数图像分析计算结果
.
实验目的与要求：
（
1）理解 Newton 迭代法的基本思想.
（
2）能够构造 Newton 迭代公式.
（
3）能够编程实现 Newton 迭代法，求解非线性方程.
- 求重根的 Newton 迭代法
使用求重根的 Newton 迭代法求方程
𝑓(𝑥
)
= 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4 = 0
在1.5附近的根，要求计算精度为
10
−
5，并作出函数图像分析计算结果
.
实验目的与要求：
（
1）掌握求重根的 Newton 迭代公式的构造.
（
2）能够编程实现求重根的 Newton 迭代法.
（
3）用 Newton 法求解此问题，并与求重根的 Newton 迭代法进行比较.
- 割线法
使用割线法求方程
𝑓(𝑥) =
2𝑒 2
𝑥
− 7𝑥 2 − 10 = 0
在区间[−2,2]上的根，要求计算精度为
10
−5
，并作出函数图像分析计算结果
.
实验目的与要求：
（
1）理解割线法的思想与几何意义.
（
2）能够构造割线法的迭代公式.
（
3）能够编程实现割线法.
（
4）用 Newton 法求解此问题，并与割线法进行比较.
三、曲线拟合与函数插值
- 最小二乘法
求以下数据
𝑥
–
3
–
2
–
1
0
1
2
3
𝑦
4
2
3
0
–
1
–
2
–
5
的最小二乘拟合，拟合函数为
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 . 画出拟合函数图形以及数据点，并分
析误差.
实验目的与要求：
（
1）熟悉最小二乘法的基本原理.
（
2）能够编制最小二乘法的程序，对给定的数据进行拟合.
（
3）能够对误差进行分析.2. Lagrange 插值
已知
𝑐𝑜𝑠30° = √ 2 3 , 𝑐𝑜𝑠45° = √ 2 2 , 𝑐𝑜𝑠60° =
1
2
, 𝑐𝑜𝑠90° = 0
使用 Lagrange 插值计算
cos(−40°) , 𝑐𝑜𝑠
47°,
𝑐𝑜𝑠53°, 𝑐𝑜𝑠79°, 𝑐𝑜𝑠174°
的近似值。给出插值多项式，画出
余弦
函数曲线和插值多项式的曲线，并估计误差
.
实验目的与要求：
（
1）熟悉 Lagrange 插值的基本思想.
（
2）能够构造插值基函数以及 Lagrange 插值多项式.
（
3）能够编制程序，实现 Lagrange 插值并计算给定点处的近似值.
（
4）绘制被插函数与插值函数的曲线，并分析误差.
- Newton 插值
（
1）已知函数
𝑓(𝑥)在若干个点处的函数值如下
𝑥
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
𝑓(𝑥
)
0.7651977
0.6200860
0.4554022
0.2818186
0.1103623
用 Newton
插值法计算
𝑓(1.5)的近似值
.
（
2）给定 5 次多项式
𝑃
5
(𝑥
) =
1
8
(
63
𝑥 5
− 70
𝑥
3
+
15
𝑥)
在[−1,1]上取 9 个点(−1, −0.3
,
0
.4
, −
0
.7
, 0
, −0
.4
,
0
.8
, 0.7
, 1). 根据𝑃5 (𝑥)的表达式，算
出这
9
点处的函数值
.
依据这
9 个点作
Newton
插值多项式，画出插值多项式的图形，并与
𝑃
5 (𝑥)的图形进行比较
.
根据作出的
Newton
插值多项式，计算出
(0.24, −0.46, 0.83)这三个
点处的近似值，并与
𝑃
5
(
𝑥)的真实值进行比较
.
实验目的与要求：
（
1）熟悉差商的概念和 Newton 插值法的基本思想.
（
2）能够构造 Newton 插值多项式.
（
3）能够编制程序，实现 Newton 插值.
（
4）对计算结果进行分析，并给出插值函数和被插函数的图形.
四、数值积分
- 复化梯形求积
给定如下积分
𝐼 = ∫
(𝑥 2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)
2
−
2 𝑑𝑥
分别把积分区间分为 20、40、80、
200 个小区间，用复化梯形公式计算积分
𝐼的近似值，并
比较计算精度.
实验目的与要求：
（
1）理解复化求积思想.
（
2）能够编程实现复化梯形求积算法.2. 复化 Simpson 求积
用复化 Simpson 公式计算积分
𝐼 = ∫ 1 2 3𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
的近似值，要求计算精度为
10−5，并把计算结果与积分的准确值进行比较
.
实验目的与要求：
（
1）首先从理论上分析要达到所要求的计算精度，应该把积分区间等分成多少个小区间.
（
2）编程实现复化 Simpson 求积算法.
- 变步长梯形求积算法
采用变步长梯形求积算法计算积分
𝐼 = ∫ 0 1 𝑒 −𝑥 2 𝑑𝑥
的近似值，要求计算精度为
实验目的与要求： 10−4 .
（
1）理解变步长梯形求积的基本思想与计算方法.
（
2）掌握算法终止的判断条件.
（
3）编程实现变步长梯形求积算法.
- Romberg 算法
采用 Romberg 算法计算积分
𝐼 = ∫ 0 1.5 4 + 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥
的近似值，要求计算精度为
实验目的与要求： 10−6 .
（
1）掌握 Richardson 外推和 Romberg 算法的基本思想.
（
2）熟悉 Romberg 算法的计算流程.
（
3）编程实现 Romberg 算法.
- Gauss 型求积公式
采用 Gauss-Legendre 求积公式计算积分
𝐼 = ∫
𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥
的近似值.
实验目的与要求：
（
1）理解 Gauss 型求积公式的基本原理.
（
2）掌握正交多项式以及 Legendre 多项式的定义与性质.
（
3）能够利用 Gauss 型求积公式计算积分.五、常微分方程数值解法
- Euler 法
采用 Euler 公式计算常微分方程
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
2
𝑡 𝑥 +
𝑡
2
𝑒
𝑡
, 𝑡
∈
[
1
,
2
]
𝑥
(1
) =
0
的数值解（步长自拟），并把计算结果与解析解进行比较
.
实验目的与要求：
（
1）理解 Euler 法的基本原理.
（
2）能够构造 Euler 公式.
（
3）能够编制程序，利用 Euler 公式求微分方程的数值解.
（
4）把 Euler 公式的计算结果与方程的解析解进行比较，分析误差，并利用图形进行展示.
- 改进的 Euler 方法
采用改进的 Euler 法计算常微分方程
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
𝑡
(𝑥 2
+
𝑥
)
, 𝑡
∈
[1
, 3
]
𝑥
(1
)
=
−
2
的数值解（步长自拟），并与 Euler
法进行比较，给出可视化分析。分析取不同步长时
计算结
果的变化情况.
实验目的与要求：
（
1）掌握改进 Euler 法的计算公式.
（
2）能够编制程序，利用改进 Euler 法求微分方程的数值解.
（
3）利用 Euler 公式求解此问题，并与改进 Euler 法得到的结果进行比较.
（
4）绘制图形，将计算结果可视化.
- Runge-Kutta 方法
采用三阶、四阶的 Runge-Kutta
公式计算常微分方程
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
−𝑥 +
𝑡
2
+
3
, 𝑡
∈
[0
, 3
]
𝑥
(0
) = 1
的数值解（步长自拟），并将计算结果与方程的解析解进行比较，分析误差
.
实验目的与要求：
（
1）掌握 Runge-Kutta 方法的计算步骤.
（
2）能够编制程序，利用 Runge-Kutta 方法求微分方程的数值解.
（
3）将计算结果与方程的解析解进行比较，分析误差.
（
4）绘制图形，将结果可视化.
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